Метки и рубрики для пользовательского типа записей

измените свой код на этот:

/* Создаем пользовательский тип записи: "Предложение" */
register_post_type('tilbud', array(
'label' => __('Предложение'),
'singular_label' => __('Предложение'),
'public' => true,
'show_ui' => true,
'capability_type' => 'post',
'hierarchical' => false,
'rewrite' => false,
'query_var' => false,
'taxonomies' => array('post_tag','category'),
'supports' => array('title')
));

функция register_post_type принимает имя типа записи и массив аргументов один из них - "taxonomies", который у вас отсутствует.

У меня сработало с таким кодом:

'taxonomies' => array('post_tag','category'),

Этот код нужно добавить к тому же коду, который используете вы.

Если вам нужно вывести теги (tags) для пользовательского типа записей (custom post type) - вот хороший пример https://jamper.online/vyvod-tegov-tags-dlya-kastomnyh-postov-custom-post-type

function get_terms_by_custom_post_type( $post_type, $taxonomy ){
        $args = array( 'post_type' => $post_type);
        $loop = new WP_Query( $args );
        $postids = array();
        // создаем массив ID записей
        while ( $loop->have_posts() ) : $loop->the_post();
            array_push($postids, get_the_ID());
        endwhile;
        // получаем значения таксономии на основе массива ID
        $taxonomies = wp_get_object_terms( $postids,  $taxonomy );
        wp_reset_postdata();
        return $taxonomies;
}