Cómo emular el comportamiento de permalinks en páginas estáticas

Necesitas agregar reglas de reescritura y los query_vars para adaptarlos a tus necesidades.

Por ejemplo. En tu archivo functions.php o de plugin:

// Registrar nuevas variables para usar en las reglas de reescritura
add_filter('query_vars', 'properties_add_query_vars');
function properties_add_query_vars( $vars) {
    $vars[] = "my_action"; // nombre de la variable como aparece en la URL
    return $vars;
}

// Agregar la nueva regla de reescritura a las existentes
add_action('init','properties_add_rewrite_rules');
function properties_add_rewrite_rules() {
    //Cambia your_page_id con el ID de la página whats-on
    add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=your_page_id&my_action='.$matches[1] , 'top' );
}

Y luego en la plantilla para la página whats-on (crea un archivo de plantilla page-whats-on.php, ver esto):

global $wp_query;
if(isset($wp_query->query_vars('my_action')) && $wp_query->query_vars('my_action') == 'some_action'){
    //Haz lo que necesites
}

No olvides vaciar las reglas de reescritura antes de probar tus nuevas reglas. Puedes hacerlo yendo a ajustes->enlaces permanentes y haciendo clic en el botón Guardar.

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En tu pregunta actualizada tienes algunos problemas en tu código.

1. Había un error en mi código, donde la variable de consulta para la página es page_id y escribí solo p. Lo siento por eso.
2. Las reglas de reescritura y las variables de consulta personalizadas deben agregarse en el gancho de acción init, solo flush_rewrite_rules(); debe ejecutarse solo en el gancho de activación por razones de rendimiento (yo mismo hice una pregunta relacionada).

He probado este código y funciona:

class SpektrixPlugin {

    public function __construct(){
        add_filter('query_vars', array($this, 'add_query_vars'));
        add_action('init', array($this, 'add_rewrite_rules'));
    }

    public function activate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function deactivate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function add_query_vars($vars) {
        $vars[] = "event"; // nombre de la variable como aparece en la URL
        return $vars;
    }

    public function add_rewrite_rules() {
        //Cambia your_page_id con el ID de la página whats-on
        add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=8&event=$matches[1]' , 'top' );
    }

    public function spektrix_list_events() {
       //$api = new SpektrixApiClient();
       //return $api->getAllEvents();
       return 'Test';
    }
}

$SpektrixEvents = new SpektrixPlugin();

register_activation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'activate') );
register_deactivation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'deactivate') );

Ahora necesitas verificar cuando la variable de consulta event esté presente. En tu caso, creo que, como dije antes, la mejor manera de hacer esta verificación es en la plantilla de la página. Puedes crear una plantilla específica para tu página con ID 8. Solo crea un archivo page-8.php y colócalo en la carpeta de tu tema (también puedes ponerlo en una carpeta de plugin pero esto requiere trabajo adicional). En page-8.php puedes hacer algo como esto:

<?php
  get_header();

  global $wp_query;
  if($wp_query->get('event') == 'event'){
       echo $SpektrixEvents->spektrix_list_events();
  }

  get_footer();
 ?>

Ahora si vas a yoursite.com/whats-on/event/ obtendrás "Test" impreso.