Как эмулировать поведение постоянных ссылок на статических страницах

Вам необходимо добавить правила перезаписи и query_vars в соответствии с вашими потребностями.

Например. В вашем файле functions.php или плагина:

// Регистрируем новые переменные для использования в правилах перезаписи
add_filter('query_vars', 'properties_add_query_vars');
function properties_add_query_vars( $vars) {
    $vars[] = "my_action"; // имя переменной, как оно будет выглядеть в URL
    return $vars;
}

// Добавляем новое правило перезаписи к существующим
add_action('init','properties_add_rewrite_rules');
function properties_add_rewrite_rules() {
    //Замените your_page_id на ID страницы whats-on
    add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=your_page_id&my_action='.$matches[1] , 'top' );
}

Затем в шаблоне для страницы whats-on (создайте файл шаблона page-whats-on.php, см. это):

global $wp_query;
if(isset($wp_query->query_vars('my_action')) && $wp_query->query_vars('my_action') == 'some_action'){
    //Делаем что нужно
}

Не забудьте сбросить правила перезаписи перед тестированием новых правил. Это можно сделать, перейдя в Настройки→Постоянные ссылки и нажав кнопку Сохранить.

РЕДАКТИРОВАНИЕ

В вашем обновленном вопросе есть несколько проблем в коде.

1. В моем коде была ошибка, где переменная запроса для страницы указана как page_id, а я написал просто p. Извините за это.
2. Правила перезаписи и пользовательские query_vars должны добавляться на хуке init, только flush_rewrite_rules(); должен выполняться только на хуке активации из-за соображений производительности (я сам задавал связанный вопрос).

Я протестировал этот код, и он работает:

class SpektrixPlugin {

    public function __construct(){
        add_filter('query_vars', array($this, 'add_query_vars'));
        add_action('init', array($this, 'add_rewrite_rules'));
    }

    public function activate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function deactivate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function add_query_vars($vars) {
        $vars[] = "event"; // имя переменной, как оно будет выглядеть в URL
        return $vars;
    }

    public function add_rewrite_rules() {
        //Замените your_page_id на ID страницы whats-on
        add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=8&event=$matches[1]' , 'top' );
    }

    public function spektrix_list_events() {
       //$api = new SpektrixApiClient();
       //return $api->getAllEvents();
       return 'Test';
    }
}

$SpektrixEvents = new SpektrixPlugin();

register_activation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'activate') );
register_deactivation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'deactivate') );

Теперь вам нужно проверить, когда присутствует query var event. В вашем случае, как я уже говорил, лучший способ сделать эту проверку - в шаблоне страницы. Вы можете создать конкретный шаблон для вашей страницы с ID 8. Просто создайте файл page-8.php и поместите его в папку вашей темы (вы также можете поместить его в папку плагина, но это требует дополнительной работы). В page-8.php вы можете сделать что-то вроде этого:

<?php
  get_header();

  global $wp_query;
  if($wp_query->get('event') == 'event'){
       echo $SpektrixEvents->spektrix_list_events();
  }

  get_footer();
 ?>

Теперь, если вы перейдете на yoursite.com/whats-on/event/, вы увидите вывод "Test".