Come emulare il comportamento dei permalink su pagine statiche

Devi aggiungere regole di riscrittura e i query_vars per adattarli alle tue esigenze.

Ad esempio. Nel tuo functions.php o file del plugin:

// Registra nuove variabili da utilizzare nelle regole di riscrittura
add_filter('query_vars', 'properties_add_query_vars');
function properties_add_query_vars( $vars) {
    $vars[] = "my_action"; // nome della variabile come appare nell'URL
    return $vars;
}

// Aggiungi la nuova regola di riscrittura a quelle esistenti
add_action('init','properties_add_rewrite_rules');
function properties_add_rewrite_rules() {
    //Sostituisci your_page_id con l'ID della pagina whats-on
    add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=your_page_id&my_action='.$matches[1] , 'top' );
}

E poi nel template per la pagina whats-on (crea un file template page-whats-on.php, vedi qui):

global $wp_query;
if(isset($wp_query->query_vars('my_action')) && $wp_query->query_vars('my_action') == 'some_action'){
    //Fai ciò che vuoi
}

Non dimenticare di svuotare le regole di riscrittura prima di provare le nuove regole. Puoi farlo andando in impostazioni->permalink e cliccando sul pulsante Salva.

MODIFICA

Nella tua domanda aggiornata ci sono alcuni problemi nel codice.

1. C'era un errore nel mio codice, dove la query var per la pagina è page_id e ho scritto solo p. Scusami per questo.
2. Le regole di riscrittura e le query var personalizzate dovrebbero essere aggiunte sull'hook init, solo il flush_rewrite_rules(); dovrebbe essere eseguito solo sull'hook di attivazione per motivi di performance (ho fatto una domanda correlata io stesso).

Ho testato questo codice e funziona:

class SpektrixPlugin {

    public function __construct(){
        add_filter('query_vars', array($this, 'add_query_vars'));
        add_action('init', array($this, 'add_rewrite_rules'));
    }

    public function activate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function deactivate() {
        flush_rewrite_rules();
    }

    public function add_query_vars($vars) {
        $vars[] = "event"; // nome della variabile come appare nell'URL
        return $vars;
    }

    public function add_rewrite_rules() {
        //Sostituisci your_page_id con l'ID della pagina whats-on
        add_rewrite_rule( 'whats-on/(.+)/?$' , 'index.php?page_id=8&event=$matches[1]' , 'top' );
    }

    public function spektrix_list_events() {
       //$api = new SpektrixApiClient();
       //return $api->getAllEvents();
       return 'Test';
    }
}

$SpektrixEvents = new SpektrixPlugin();

register_activation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'activate') );
register_deactivation_hook( __file__, array($SpektrixEvents, 'deactivate') );

Ora devi verificare quando è presente la query var event. Nel tuo caso, penso che, come ho detto prima, il modo migliore per fare questo controllo sia nel template della pagina. Puoi creare un template specifico per la tua pagina con ID 8. Basta creare un file page-8.php e metterlo nella cartella del tuo tema (puoi anche metterlo in una cartella di un plugin ma questo richiede lavoro extra). In page-8.php puoi fare qualcosa del genere:

<?php
  get_header();

  global $wp_query;
  if($wp_query->get('event') == 'event'){
       echo $SpektrixEvents->spektrix_list_events();
  }

  get_footer();
 ?>

Ora se vai su yoursite.com/whats-on/event/ vedrai stampato "Test".