Crear correo de bienvenida personalizado sin un plugin

Me temo que tendrás que usar la función de funciones enchufables - no hay ningún filtro o gancho dentro de esas funciones (como puedes ver en el código a continuación). Y lo que es peor, para ti, es mejor usar la función enchufable en un plugin.

Esto se debe a que definir una nueva función enchufable en el functions.php de tu tema requiere que uses una definición de una nueva función dentro de una función (para llamarla tan pronto como todos los plugins estén completamente cargados), lo cual puede ser malo (ver comentarios debajo de esta publicación), pero por otro lado, funciona - ver el código debajo del primero.

Para aquellos que no están en contra de los plugins, aquí hay uno que reescribe una función enchufable - solo guárdalo en my_plugin.php (o cualquier otro nombre) en tu directorio de plugins y actívalo desde tu administrador:

<?php
/*
Plugin Name: Nombre Del Plugin
Plugin URI: http://URI_De_La_Página_Que_Describe_El_Plugin_Y_Actualizaciones
Description: Una breve descripción del Plugin.
Version: El Número de Versión del Plugin, ej.: 1.0
Author: Nombre Del Autor Del Plugin
Author URI: http://URI_Del_Autor_Del_Plugin
License: Un "Slug" de nombre de licencia, ej. GPL2
*/
if( !function_exists('new_user_notification') ){
function new_user_notifiaction(){
        /**
         * Notifica al administrador del blog de un nuevo usuario, normalmente por correo electrónico.
         *
         * @since 2.0
         *
         * @param int $user_id ID del usuario
         * @param string $plaintext_pass Opcional. La contraseña en texto plano del usuario
         */
        function wp_new_user_notification($user_id, $plaintext_pass = '') {
            $user = get_userdata( $user_id );

            $user_login = stripslashes($user->user_login);
            $user_email = stripslashes($user->user_email);

            // La opción blogname se escapa con esc_html al guardarse en la base de datos en sanitize_option
            // queremos revertir esto para el texto plano de los correos.
            $blogname = wp_specialchars_decode(get_option('blogname'), ENT_QUOTES);

            $message  = sprintf(__('Nuevo registro de usuario en tu sitio %s:'), $blogname) . "\r\n\r\n";
            $message .= sprintf(__('Nombre de usuario: %s'), $user_login) . "\r\n\r\n";
            $message .= sprintf(__('Correo electrónico: %s'), $user_email) . "\r\n";

            @wp_mail(get_option('admin_email'), sprintf(__('[%s] Nuevo Registro de Usuario'), $blogname), $message);

            if ( empty($plaintext_pass) )
                return;

            $message  = sprintf(__('Nombre de usuario: %s'), $user_login) . "\r\n";
            $message .= sprintf(__('Contraseña: %s'), $plaintext_pass) . "\r\n";
            $message .= wp_login_url() . "\r\n";

            wp_mail($user_email, sprintf(__('[%s] Tu nombre de usuario y contraseña'), $blogname), $message);

        }
    }
}

Solo por si tienes curiosidad, aquí está el mismo efecto logrado desde functions.php con una nueva función definida dentro de otra función:

//redefinir wp_new_user_notification tan pronto como todos los plugins estén cargados
add_action( 'plugins_loaded', 'new_user_notifiaction' );

function new_user_notifiaction(){
    /**
     * Notifica al administrador del blog de un nuevo usuario, normalmente por correo electrónico.
     *
     * @since 2.0
     *
     * @param int $user_id ID del usuario
     * @param string $plaintext_pass Opcional. La contraseña en texto plano del usuario
     */
    function wp_new_user_notification($user_id, $plaintext_pass = '') {
        $user = get_userdata( $user_id );

        $user_login = stripslashes($user->user_login);
        $user_email = stripslashes($user->user_email);

        // La opción blogname se escapa con esc_html al guardarse en la base de datos en sanitize_option
        // queremos revertir esto para el texto plano de los correos.
        $blogname = wp_specialchars_decode(get_option('blogname'), ENT_QUOTES);

        $message  = sprintf(__('Nuevo registro de usuario en tu sitio %s:'), $blogname) . "\r\n\r\n";
        $message .= sprintf(__('Nombre de usuario: %s'), $user_login) . "\r\n\r\n";
        $message .= sprintf(__('Correo electrónico: %s'), $user_email) . "\r\n";

        @wp_mail(get_option('admin_email'), sprintf(__('[%s] Nuevo Registro de Usuario'), $blogname), $message);

        if ( empty($plaintext_pass) )
            return;

        $message  = sprintf(__('Nombre de usuario: %s'), $user_login) . "\r\n";
        $message .= sprintf(__('Contraseña: %s'), $plaintext_pass) . "\r\n";
        $message .= wp_login_url() . "\r\n";

        wp_mail($user_email, sprintf(__('[%s] Tu nombre de usuario y contraseña'), $blogname), $message);

    }
}

Esta parece una buena idea, que también funcionaría en functions.php:

// Añadir filtro para el cuerpo del correo de registro
add_filter('wp_mail','handle_wp_mail');

function handle_wp_mail($atts) {
    /*"Tu nombre de usuario y contraseña" es el asunto del correo que WordPress envía desde la función "wp_new_user_notification" en el archivo "wp-includes/pluggable.php"*/

    if (isset ($atts ['subject']) && substr_count($atts ['subject'],'Tu nombre de usuario y contraseña')>0 ) {
    if (isset($atts['message'])) {
       $atts['message'] = 'nuevo cuerpo';
    }
    }
    return ($atts);
}

Solo hay que tener cuidado con el idioma para obtener la cadena de asunto correcta. (Fuente: http://wordpress.org/support/topic/how-to-change-registration-email-content?replies=3)