Mostrare messaggi di successo o errore nella risposta Ajax per form di registrazione personalizzato WordPress

Ho questo form personalizzato all'interno di un template di pagina WordPress

<?php if(!is_user_logged_in()) {
if(get_option('users_can_register')) { 
    if($_POST){
        $username = $wpdb->escape($_REQUEST['user_login']);
        if(empty($username)) {
            echo "<span style='color:#FF0000'><strong>Errore..</strong></span><br /><br />Devi inserire un nome utente.";
            exit();
        }
        $email = $wpdb->escape($_REQUEST['user_email']);
        if(!preg_match("/^[_a-z0-9-]+(\.[_a-z0-9-]+)*@[a-z0-9-]+(\.[a-z0-9-]+)*(\.[a-z]{2,4})$/", $email)) {
            echo "<span style='color:#FF0000'><strong>Errore..</strong></span><br /><br />Inserisci un indirizzo email valido.";
            exit();
        }

        //$random_password = wp_generate_password( 12, false );
        $pass1 = $wpdb->escape($_REQUEST['pass1']);
        $pass2 = $wpdb->escape($_REQUEST['pass2']);
        if ($pass1 != $pass2){
            echo "<span style='color:#FF0000'><strong>Errore..</strong></span><br /><br />Le password non corrispondono.";
                exit();

        }
        $random_password = $pass1;
        $status = wp_create_user( $username, $random_password, $email );
        if ( is_wp_error($status) )
            echo "<span style='color:#FF0000'><strong>Errore..</strong></span><br /><br />Nome utente già esistente. Provane un altro.";
        else {
            $from = get_option('admin_email');
            $headers = 'From: '.$from . "\r\n";
            $subject = "Registrazione completata!";
            $msg = "Benvenuto, la registrazione è avvenuta con successo. Ecco il tuo nome utente e password.\Info:\Nome utente: $username\Password: $random_password";
            wp_mail( $email, $subject, $msg, $headers );
            echo "<strong>Registrazione completata. Ti è stata inviata una email con nome utente e password..";
        }

        exit();

    } else { ?>

        <form method="post" action="<?php echo site_url('wp-login.php?action=register', 'login_post') ?>" id="registerform" class="col-xs-12" name="registerform">
            <div class="row">
                <div class="col-xs-12 col-md-6">
                    <p>
                        <label for="user_login">Nome utente</label>
                        <input id="user_login" class="input" type="text" size="20" value="" name="user_login">
                    </p>
                    <p>
                        <label for="user_email">Email</label>
                        <input id="user_email" class="input" type="email" size="25" value="" name="user_email">
                    </p>
                    <p>
                        Password <input type="password" name="pass1" size="25" value="">
                        Ripeti Password <input type="password" name="pass2" size="25" value="">
                    </p>
                </div>
                <div class="submit">
                    <input id="wp-register" class="button-primary pull-right col-xs-12 col-md-3" type="submit" value="Registrati" name="wp-submit" tabindex="103">
                    <input type="hidden" value="/login-area/?action=register&success=1" name="redirect_to">
                    <input type="hidden" name="user-cookie" value="1" />
                </div>
            </div>
        </form>

        <script type="text/javascript">                         
        jQuery("#wp-register").click(function() {
            var input_data = jQuery('#registerform').serialize();
            jQuery.ajax({
                type: "POST",
                url:  "<?php echo "http://" . $_SERVER['HTTP_HOST'] . $_SERVER['REQUEST_URI']; ?>",
                data: input_data,
                success: function(data){
                    alert('Successo');
                },
                error: function (jqXHR, textStatus, errorThrown) {
                    alert(jqXHR.status); // Vorrei ottenere quale è l'errore
                }
            });
            return false;
        });
        </script>
<?php }
} else ?>
    Già registrato? Accedi al tuo account con il form nella sidebar.
<?php } else { ?>
Sei già loggato...
<?php } ?>

Il PHP sembra funzionare correttamente poiché quando faccio il console log ottengo il messaggio giusto quando c'è un errore.

Come posso mostrare questi errori all'interno delle funzioni Ajax success o error?

Il codice che sto usando sembra entrare sempre nella funzione success anche se ci sono degli errori.

Vorrei sapere quali errori ci sono e stampare un messaggio con il tipo di errore da qualche parte nella pagina e se ha successo vorrei stampare un messaggio di successo.